Question

4．已知命题p：“?x₀∈{|x|-1＜x＜1}，${x}_{0}^{2}$-x₀-m=0（m∈R）”是真命题，设实数m的取值集合为M．
（1）求集合M；
（2）设关于x的不等式（x-a）（x+a-2）＜0（a∈R）的解集为N，若“x∈N”是“x∈M”的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若命题p为真命题，利用参数分类法结合一元二次函数的性质求出m的范围即可求集合M；
（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N分类讨论①当a＞2-a即a＞1时，N={x|2-a＜x＜a}，②当a＜2-a即a＜1时，N={x|a＜x＜2-a}，③当a=2-a即a=1时，N=∅三种情况进行求解

解答 解：（1）若命题p是真命题，则由${x}_{0}^{2}$-x₀-m=0得m=${x}_{0}^{2}$-x₀=（x₀-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵-1＜x₀＜1，
∴当x₀=$\frac{1}{2}$时，函数取得最小值-$\frac{1}{4}$，
当x₀=-1时，函数取得最大值2，
则-$\frac{1}{4}$≤m＜2，
即集合M=[-$\frac{1}{4}$，0）；
（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N
①当a＞2-a即a＞1时，N={x|2-a＜x＜a}，则$\left\{\begin{array}{l}{2-a＜-\frac{1}{4}}\\{a≥2}\\{a＞1}\end{array}\right.$即$a＞\frac{9}{4}$
②当a＜2-a即a＜1时，N={x|a＜x＜2-a}，则$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a＜-\frac{1}{4}}\\{2-a≥2}\end{array}\right.$即$a＜-\frac{1}{4}$
③当a=2-a即a=1时，N=∅，此时不满足条件
综上可得$a＞\frac{9}{4}或a＜-\frac{1}{4}$

点评 本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用．