Question

如图，在三棱锥中，平面平面,，．设，分别为，中点.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面;

（Ⅲ）试问在线段上是否存在点，使得过三点 ,,的平面内的任一条直线都与平面平行？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．

                                                    

Answer 1

证明：

（Ⅰ）因为点是中点，点为的中点，

所以∥．

又因为面，面，

所以∥平面．                                               

（Ⅱ）因为平面面, 平面平面=,又平面，，所以面.

所以．

又因为，且，

所以面．                                  

（Ⅲ）当点是线段中点时，过点,,的平面内的任一条直线都与平面平行．

  取中点，连，连.

由（Ⅰ）可知∥平面．

  因为点是中点，点为的中点，

  所以∥．

又因为平面，平面，

  所以∥平面．

  又因为，

  所以平面∥平面，

  所以平面内的任一条直线都与平面平行．              

故当点是线段中点时，过点,,所在平面内的任一条直线都与平面平行．