Question

10．根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有114 种不同的考试安排方法．

Answer 1

分析 依题意，分两大类：①四次考试中选三次（有${C}_{4}^{3}$种方法），每次考两科；②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，分别分析、计算即可求得答案．

解答 解：将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，有两种情况：
①四次考试中选三次（有${C}_{4}^{3}$种方法），每次考两科，第一次有${C}_{3}^{2}$种方法，第二次必须考剩下的一科与考过的两科中的一科，有${C}_{1}^{1}$•${C}_{2}^{1}$种方法，第三次只能是${C}_{2}^{2}$种方法，根据分布乘法计数原理，共有：${C}_{4}^{3}$•${C}_{3}^{2}$•（${C}_{1}^{1}$•${C}_{2}^{1}$）•${C}_{2}^{2}$=24种方法；
②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，共${C}_{4}^{2}$=6种方法；分别为方案2211，2121，2112，1221，1212，1122．
若为2211，第一次有${C}_{3}^{2}$种方法，
第二次有两种情况，1°选考过的两科，有${C}_{2}^{2}$种方法，则第三次只考剩下的第三科有1种方法；第四次只有1种方法，故共有${C}_{3}^{2}$•${C}_{2}^{2}$•1•1=3种方法；
2°剩下的一科与考过的两科中的一科，有${C}_{1}^{1}$•${C}_{2}^{1}$种方法，则第三次与第四次共有${A}_{2}^{2}$种方法，故共有${C}_{3}^{2}$•${C}_{1}^{1}$•${C}_{2}^{1}$•${A}_{2}^{2}$=12种方法；
综上所述，2211方案共有15种方法；
若方案为2121，共有${C}_{3}^{2}$（${C}_{1}^{1}$•${C}_{3}^{2}$•${C}_{1}^{1}$+${C}_{2}^{1}$•${C}_{1}^{1}$•${C}_{1}^{1}$）=15种方法；
若方案为2112，共有${C}_{3}^{2}$（${C}_{1}^{1}$•${C}_{3}^{1}$•${C}_{2}^{2}$+${C}_{2}^{1}$•${C}_{1}^{1}$•${C}_{1}^{1}$）=15种方法；
同理可得，另外3种情况，每种各有15种方法，
所以，四次考试都选，共有15×6=90种方法．
综合①②得：共有24+90=114种方法．
故答案为：114．

点评 本题考查排列组合的实际应用，突出考查分类讨论思想的运用，在第二类四次考试都选中，第二次选考的科目的种类是分析问题的关键，是难点，考查分析问题、解决问题的能力，属于难题．