Question

15．若a₁，a₂，a₃，…，a_n均为正数，则有
二元均值不等式：${a_1}+{a_2}≥2\sqrt{{a_1}•{a_2}}$，当且仅当a₁=a₂时取等号；
三元均值不等式：${a_1}+{a_2}+{a_3}≥3\root{3}{{{a_1}•{a_2}•{a_3}}}$，当且仅当a₁=a₂=a₃时取等号；
四元均值不等式：${a_1}+{a_2}+{a_3}+{a_4}≥4\root{4}{{{a_1}•{a_2}•{a_3}•{a_4}}}$，当且仅当a₁=a₂=a₃=a₄时取等号．
（1）猜想n元均值不等式；
（2）若x，y，z均为正数，且x+y+z=6，求xyz的最大值．

Answer 1

分析 （1）a_n，＞0，n∈N^*，猜想n元均值不等式：a₁+a₂+…+a_n≥n$\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}•…•{a}_{n}}$，当且仅当a₁=a₂=a₃=…=a_n时取等号．
（2）x，y，z均为正数，且x+y+z=6，利用6≥$3\root{3}{xyz}$，即可得出．

解答 解：（1）a₁，a₂，a₃，…，a_n均为正数，猜想n元均值不等式：a₁+a₂+…+a_n≥n$\root{n}{{a}_{1}{a}_{2}•…•{a}_{n}}$，当且仅当a₁=a₂=a₃=…=a_n时取等号．
（2）x，y，z均为正数，且x+y+z=6，则6≥$3\root{3}{xyz}$，化为：xyz≤8，当且仅当x=y=z=2时取等号．
∴xyz的最大值为8．

点评 本题考查了基本不等式的性质、猜想归纳能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．