Question

18．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$，若将f（x）的图象先向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移$\sqrt{3}$个单位，得到的图象对应的函数g（x）为奇函数．
（1）求f（x）的解析式及单调增区间；
（2）对任意$x∈[{0，\frac{π}{3}}]$，f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴距离周期，从而得出ω，利用函数图象变换和奇函数的性质得出φ，从而得出f（x）的解析式，利用正弦函数的性质可得单调增区间；
（2）求出f（x）的值域，令f（x）=t，则关于t的不等式t²-（2+m）t+m+2≤0在[-$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$]上恒成立，根据二次函数的性质列不等式得出m的范围．

解答 解：（1）f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}×2$=π，
∴ω=2，
∴g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$=sin（2x-$\frac{π}{3}$+φ）-b+$\sqrt{3}$．
∵g（x）是奇函数，0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{3}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，
∴f（x）的单调增区间为[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，π]，
∴f（x）∈[-$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$]，
令f（x）=t，则关于t的不等式t²-（2+m）t+m+2≤0在[-$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$]上恒成立，
∵t²-（2+m）t+m+2=0的根为t=1，或t=m+2．
∴m+2≤-$\sqrt{3}$，即m≤-2-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质，二次函数的性质，属于中档题．