Question

1．已知命题p：函数f（x）=x³+ax+5在区间（-2，1）上不单调，若命题p的否定是一个真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题的否定，求出f（x）的导数可得f′（x）=3x²+a≥0或≤0在区间（-2，1）上恒成立．运用二次函数的最值求法，即可得到所求a的范围．

解答 解：命题p：函数f（x）=x³+ax+5在区间（-2，1）上不单调，
若命题p的否定为：函数f（x）=x³+ax+5在区间（-2，1）上单调，
f（x）的导数为f′（x）=3x²+a≥0或≤0在区间（-2，1）上恒成立．
由3x²+a≥0可得-a≤3x²的最小值，即有-a≤0，即a≥0；
由3x²+a≤0可得-a≥3x²在区间（-2，1）上恒成立，由3x²＜12，
即有-a≥12，即a≤-12；
综上可得，a≥0或a≤-12．

点评 本题考查命题的否定，考查函数的导数的运用：判断单调性，考查转化思想的运用，以及运算能力，属于中档题．