Question

9．设事件A表示“关于x的一元二次方程x²+ax+b²=0有实根”，其中a，b为实常数．
（Ⅰ）若a为区间[0，5]上的整数值随机数，b为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）若a为区间[0，5]上的均匀随机数，b为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A发生的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）本题是古典概型，首先明确事件的个数，利用公式解答；
Ⅱ）本问是几何概型的求法，明确事件对应的区域面积，利用面积比求概率．

解答 解：（Ⅰ）当a∈{0，1，2，3，4，5}，b∈{0，1，2}时，共可以产生6×3=18个一元二次方程．
若事件A发生，则a ²-4b²≥0，即|a|≥2|b|．又a≥0，b≥0，所以a≥2b．（3分）
从而数对（a，b）的取值为（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2），共12组值．
所以P（A）=$\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$．（5分）
（Ⅱ）据题意，试验的全部结果所构成的区域为D={（a，b）|0≤a≤5，0≤b≤2}，构成事件A的区域为A={（a，b）|0≤a≤5，0≤b≤2，a≥2b}．（8分）
在平面直角坐标系中画出区域A、D，如图，
其中区域D为矩形，其面积S（D）=5×2=10，
区域A为直角梯形，其面积S（A）=$\frac{1+5}{2}×2=6$．（11分）
所以P（A）=$\frac{S（A）}{S（D）}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．（12分）

点评 古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到