Question

20．如图，在几何体ABCDEFG中，面ABCD是正方形，其对角线AC于BD相交于N，DE⊥平面ABCD，DE∥AF∥BG，H是DE的中点，DE=2AF=2BG．
（Ⅰ）若点R是FH的中点，证明：NR∥平面EFC；
（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为2，DE=2，求二面角E-FC-G的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别取EF、CF的中点M、Q，连MR、MQ、NQ，推导出四边形MRNQ为平行四边形，则MQ∥NR，由此能证明NR∥平面EFC．
（Ⅱ）分别以直线AB、AD、AF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-FC-G的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）分别取EF、CF的中点M、Q，连MR、MQ、NQ，
则MR∥EH∥FA∥NQ，且MR=$\frac{1}{2}$EH=$\frac{1}{2}$FA=NQ，
∴四边形MRNQ为平行四边形，∴MQ∥NR，
又MQ?平面EFG，NR?平面EFC，
∴NR∥平面EFC．
解：（Ⅱ）分别以直线AB、AD、AF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则G（2，0，1），F（0，0，1），C（2，2，0），E（0，2，2），
∴$\overrightarrow{FG}$=（2，0，0），$\overrightarrow{CG}$=（0，-2，1），$\overrightarrow{EF}$=（0，-2，-1），$\overrightarrow{FC}$=（2，2，-1），
设平面GFC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FG}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CG}=2y-z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，2），
同理得平面EFC的法向量$\overrightarrow{m}$=（2，-1，2），
设二面角E-FC-G的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角E-FC-G的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．