Question

1．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=BC=1，点E为AD边上的中点，过点D作DF∥BC交AB于点F，现将此直角梯形沿DF折起，使得A-FD-B为直二面角，如图乙所示．
（1）求证：AB∥平面CEF；
（2）若二面角的余弦值为-$\frac{\sqrt{30}}{10}$，求AF的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，FC交于点O，连接OE．由AB∥OE，得到AB∥平面CEF．
（Ⅱ）以F点为原点，FB，FD，FA分别为x，y，z轴建立空间直角
坐标系，设AF长为a，则F（0，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），A（0，0，a），
E（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{FE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{a}{2}），\overrightarrow{FC}$═（1，1，0）． 
求出平面FEC的一个法向量、平面ECD的一个法向量，利用向量的夹角公式求出a，即可求AF的长．

解答 解：（Ⅰ）证明：如图6所示，连接BD，FC交于点O，连接OE．
因为BCDF为正方形，故O为BD中点．
又E为AD中点，故OE为△AED的中位线．  …（3分）
AB∥OE，又OE?平面CEF，AB?平面CEF，
∴AB∥平面CEF． …（5分）

（Ⅱ）解：因为FD与AF，BF都垂直，又由题意知折为直二面角，
故AF与BF亦垂直，
故可以F点为原点，FB，FD，FA分别为x，y，z轴建立空间直角
坐标系，如图7所示．
设AF长为a，则F（0，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），A（0，0，a），
E（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{FE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{a}{2}），\overrightarrow{FC}$═（1，1，0）．  …（7分）
设平面FEC的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FE}=\frac{1}{2}y+\frac{a}{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FC}=x+y=0}\end{array}\right.$令y=a，则$\left\{\begin{array}{l}{x=-a}\\{z=-1}\end{array}\right.$∴$\overrightarrow{m}=（-a，a，-1）$．
同理，易求平面ECD的一个法向量$\overrightarrow{n}=（0，a，1）$．       …（10分）
根据题意知，cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{{a}^{2}-1}{\sqrt{2{a}^{2}+1}•\sqrt{{a}^{2}+1}}$=-$\frac{\sqrt{30}}{10}$，
解得，a=$\sqrt{7}$或a=$\frac{1}{2}$，
经分析若a=$\sqrt{7}$时，二面角余弦值应为正，故舍去．
综上，AF=$\frac{1}{2}$．  …（12分）

点评 本题考查了空间线面平行的判定，向量法求二面角，属于中档题．