Question

12．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的焦距为$4\sqrt{2}$，短半轴长为2，过点P（-2，1）斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：2c=4$\sqrt{2}$，b=2，a²=b²+c²，联立解得即可得出．
（2）直线l的方程为：y-1=x+2，即y=x+3．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与题意方程联立化为：4x²+18x+15=0，利用弦长公式|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：（1）由已知可得：2c=4$\sqrt{2}$，b=2，a²=b²+c²，联立解得：c=2$\sqrt{2}$，b=2，a²=12．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）直线l的方程为：y-1=x+2，即y=x+3．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为：4x²+18x+15=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{9}{2}$，x₁•x₂=$\frac{15}{4}$，
∴|AB|=$\sqrt{2[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×[（-\frac{9}{2}）^{2}-4×\frac{15}{4}]}$=$\frac{\sqrt{42}}{2}$．

点评 本题考查了题意的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．