Question

10．已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是$\frac{5}{6}，\frac{4}{5}，\frac{3}{4}，\frac{2}{3}$，女生闯过一至四关的概率依次是$\frac{4}{5}，\frac{3}{4}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}$．
（1）求男生闯过四关的概率；
（2）设ε表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量?的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．
（2）记女生四关都闯过为事件B，则$P（B）=\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{5}$，?的取值可能为0，1，2，3，4，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．

解答 解：（1）记男生四关都闯过为事件A，则$P（A）=\frac{5}{6}×\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$．
（2）记女生四关都闯过为事件B，则$P（B）=\frac{4}{5}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{5}$，
因为$P（{ε=0}）={（{\frac{2}{3}}）^2}{（{\frac{4}{5}}）^2}=\frac{64}{225}$，$P（{ε=1}）=C_2^1\frac{1}{3}•\frac{2}{3}{（{\frac{4}{5}}）^2}+C_2^1\frac{1}{5}•\frac{4}{5}•{（{\frac{2}{3}}）^2}=\frac{96}{225}$，$P（{ε=2}）=C_2^2{（{\frac{1}{3}}）^2}{（{\frac{4}{5}}）^2}+C_2^2{（{\frac{1}{5}}）^2}{（{\frac{2}{3}}）^2}+C_2^1\frac{1}{3}•\frac{2}{3}•C_2^1•\frac{1}{5}•\frac{4}{5}=\frac{52}{225}$，$P（{ε=3}）=C_2^1\frac{1}{3}•\frac{2}{3}{（{\frac{1}{5}}）^2}+C_2^1\frac{1}{5}•\frac{4}{5}•{（{\frac{1}{3}}）^2}=\frac{12}{225}$，$P（{ε=4}）={（{\frac{1}{3}}）^2}{（{\frac{1}{5}}）^2}=\frac{1}{225}$．
所以的分布列如下：

?	0	1	2	3	4
P	$\frac{64}{225}$	$\frac{96}{225}$	$\frac{52}{225}$	$\frac{12}{225}$	$\frac{1}{225}$

∴E（?）=$0×\frac{64}{225}$+1×$\frac{96}{225}$+2×$\frac{52}{225}$+3×$\frac{12}{225}$+4×$\frac{1}{225}$=$\frac{16}{15}$．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．