Question

9．已知双曲线${C_1}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$与圆${C_2}：{x^2}+{y^2}={c^2}$（c是双曲线的半焦距）相交于第一象限内一点P，又F₁，F₂分别是双曲线C₁的左、右焦点，若$∠P{F_2}{F_1}=\frac{π}{3}$，则双曲线的离心率为$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 由题意可得，三角形F₁F₂P是有一个内角为60°角的直角三角形，根据此直角三角形，结合双曲线的离心率的定义即可求得双曲线的离心率．

解答 解：由题设知圆C₂的直径为F₁F₂，则$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{2}$，又$∠P{F_2}{F_1}=\frac{π}{3}$，
所以$|{P{F_1}}|=\sqrt{3}c$，|PF₂|=c，
由双曲线的定义得|PF₁|-|PF₂|=2a，即$（\sqrt{3}-1）c=2a$，所以$e=\frac{2}{{\sqrt{3}-1}}=\sqrt{3}+1$．
故答案为$\sqrt{3}+1$．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义的运用，属于中档题．