Question

一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图．
（1）求a的值；
（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；
（注：设样本数据第i组的频率为p_i，第i组区间的中点值为x_i（i=1，2，3，…，n），则样本数据的平均值为

.

X

=x₁p₁+x₂p₂+x₃p₃+…+x_np_n．）
（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在（5，15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（1）由频率分布直方图所给的数据能求出a．
（2）先由频率直方图的数据求出50个样本小球重量的平均值，由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值．
（3）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在（5，15]内的概率为0.2，且ξ～B（3，

1

5

）．ξ的取值为0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）由题意，得（0.02+0.032+a+0.018）×10=1，…（1分）
解得a=0.03．…（2分）
（2）50个样本小球重量的平均值为

.

x

=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）．…（3分）
由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．…（4分）
（3）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在（5，15]内的概率为0.2，
则ξ～B（3，

1

5

）．…（5分）
ξ的取值为0，1，2，3，…（6分）
P（ξ=0）=

C

0 3

（

4

5

）³=

64

125

，
P（ξ=1）=

C

1 3

（

1

5

）（

4

5

）²=

48

125

，
P（ξ=2）=

C

2 3

（

1

5

）²（

4

5

）=

12

125

，
P（ξ=3）=

C

3 3

（

1

5

）³=

1

125

．…（10分）
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	64 125	48 125	12 125	1 125

…（11分）
∴Eξ=0×

64

125

+1×

48

125

+2×

12

125

+3×

1

125

=

3

5

．…（12分）

点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．