Question

已知下列a＞0，b＞0，给出下列四个不等式：
①a+b+

1

ab

≥2

2

；
②（a+b）（

1

a

+

1

b

）≥4；
③

a2+b2

ab

≥a+b；
④a+

1

a+4

≥-2．
其中正确的不等式有

 

（只填序号）．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用基本不等式的性质分别进行判断即可．

解答： 解：①a+b+

1

ab

≥2

ab

+

1

ab

≥2

2 ab • 1 ab

=2

2

，
当且仅当a=b，且2

ab

=

1

ab

．即a=b且ab=

1

2

，即a=b=

2

2

时取等号，故①正确；
②（a+b）（

1

a

+

1

b

）=1+1+

b

a

+

a

b

≥2+2

a b • b a

=2+2=4，当且仅当

b

a

=

a

b

，即a=b＞0时取等号，故②正确；
③∵

a2+b2 2

≥

a+b

2

，∴a2+b2≥

(a+b)2

2

=（a+b）•

a+b

2

≥（a+b）•

ab

，
∴

a2+b2

ab

≥a+b；当且仅当a=b时取等号．故③正确，
④a+

1

a+4

=a+4+

1

a+4

-4≥2

(a+4)• 1 a+4

-4=2-4=-2．
当且仅当a+4=

1

a+4

，即（a+4）2=1时等号成立，而a＞0，
∴（a+4）2≠1．∴等号不能取得．综上①②③正确．
故答案为：①②③

点评：本题主要考查不等式的大小比较，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．注意等号成立的条件．