Question

设s＞1，t＞1，m∈R，x=log_st+log_ts，y=log_s⁴t+log_t⁴s+m（log_s²t+log_t²s）．
（1）将y表示成x的函数f（x），并求定义域；
（2）若关于x的方程f（x）=0有唯一实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,对数的运算性质,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用基本不等式求出f（x）的定义域，先求x²的表达式，再求y的表达式即可；
（2）利用分离常数法，求出m的表达式，根据函数的单调性，求出m的取值范围．

解答： 解：（1）∵s＞1，t＞1，∴log_st＞0，log_ts＞0，
∴x=log_st+log_ts≥2；
x²=log²_st+log²_ts+2，
∴log²_st+log²_ts=x²-2，
∴log_s⁴t+log_t⁴s=（x²-2）²-2；
∴y=（x²-2）²-2+m（x²-2）=（x²-2）²+m（x²-2）-2，定义域是[2，+∞）；
（2）根据题意，方程（x²-2）²+m（x²-2）-2=0在[2，+∞）上有唯一实数解，
即m=-（x²-2）+

2

x2-2

；
设m=g（x）=-（x²-2）+

1

x2-2

（x≥2），
令u=x²-2，其中x∈[2，+∞），
则m是u的减函数；
即m=g（x）是定义域∈[2，+∞）上的减函数，
∴m≤g（2）=-1，即实数m的取值范围是m∈（-∞，-1）．

点评：本题考查了求函数定义域的应用问题，也考查了函数的单调性问题，基本不等式的应用问题，是综合性题目．