Question

如图，在四面体ABCD中，已知∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若平面ABD⊥平面CBD，且BD=

5

2

，求二面角C-AD-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱锥的结构特征,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得△ABD≌△CBD，从而AD=CD，取AC的中点E，连结BE，DE，则BE⊥AC，DE⊥AC，从而AC⊥平面BED，由此能证明AC⊥BD．
（2）过C作CH⊥BD于点H，由已知得CH⊥平面ABD，过H做HK⊥AD于点K，连接CK，则∠CKH为二面角C-AD-B的平面角，由此能求出二面角C-AD-B的余弦值．

解答： （1）证明：∵∠ABD=∠CBD，AB=BC，BD=BD．
∴△ABD≌△CBD，
∴AD=CD．
取AC的中点E，连结BE，DE，则BE⊥AC，DE⊥AC．
又∵BE∩DE=E，
BE?平面BED，BD?平面BED，
∴AC⊥平面BED，
∴AC⊥BD．

（2）解：过C作CH⊥BD于点H．则CH?平面BCD，
又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，
∴CH⊥平面ABD． 
过H做HK⊥AD于点K，连接CK． 
∵CH⊥平面ABD，∴CH⊥AD，又HK∩CH=H，
∴AD⊥平面CHK，∴CK⊥AD．
∴∠CKH为二面角C-AD-B的平面角． 
连接AH．∵△ABD≌△CBD，∴AH⊥BD．
∵∠ABD=∠CBD=60°，AB=BC=2，
∴AH=CH=

3

，BH=1．∵BD=

5

2

，∴DH=

3

2

． 
∴AD=

21

2

，∴HK=

AH•DH

AD

=

3 7

7

．
∴tan∠CKH=

CH

HK

=

21

3

，
∴cos∠CKH=

30

10

，∴二面角C-AD-B的余弦值为

30

10

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．