题目内容
某次围棋比赛的决赛阶段实行三番棋决定冠军归属（即三局两胜制，和棋判无效，加赛直至分出胜负）．打入决赛的两名选手甲、乙平时进行过多次对弈，有记录的30局结果如下表：
请根据表中的信息（用样本频率估计概率），回答下列问题：
（Ⅰ）如果比赛第一局由掷一枚硬币的方式决定谁先，试求第一局甲获胜的概率；
（Ⅱ）若第一局乙先，此后每局负者先，
①求甲以二比一获胜的概率；
②该次比赛设冠军奖金为40万元，亚军奖金为10万元，如果冠军“零封”对手（即2：0夺冠）则另加5万元．求甲队员参加此次决赛获得奖金数X的分布列和数学期望．
| 甲先 | 乙先 | |
| 甲胜 | 10 | 9 |
| 乙胜 | 5 | 6 |
（Ⅰ）如果比赛第一局由掷一枚硬币的方式决定谁先，试求第一局甲获胜的概率；
（Ⅱ）若第一局乙先，此后每局负者先，
①求甲以二比一获胜的概率；
②该次比赛设冠军奖金为40万元，亚军奖金为10万元，如果冠军“零封”对手（即2：0夺冠）则另加5万元．求甲队员参加此次决赛获得奖金数X的分布列和数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量及其分布列
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）若甲先，则甲获作画的概率是
，乙获胜的概率是
，若乙先，则甲获胜的概率是
，乙获胜的概率是
，由此能求出第一局甲获胜的概率．
（Ⅱ）①甲以二比一获胜，即甲胜第一、三局或甲胜第二、三局，由此能求出甲二比一获胜的概率．
②由题意知，X的所有可能取值为10，40，45，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
（Ⅱ）①甲以二比一获胜，即甲胜第一、三局或甲胜第二、三局，由此能求出甲二比一获胜的概率．
②由题意知，X的所有可能取值为10，40，45，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
解答：
解：（Ⅰ）根据题中表格信息知：
若甲先，则甲获作画的概率是
，乙获胜的概率是
，
若乙先，则甲获胜的概率是
，乙获胜的概率是
，
∴第一局甲获胜的概率是p1=
×
+
×
=
．
（Ⅱ）①甲以二比一获胜，即甲胜第一、三局或甲胜第二、三局，
概率是P2=
×
×
+
×
×
=
．
②由题意知，X的所有可能取值为10，40，45，
P（X=40）=
，
P（X=45）=
×
=
，
P（X=10）=1-
-
=
，
∴X的分布列为：
EX=10×
+40×
+45×
=
=32.2（万元）．
∴甲队员参加此次决赛获得奖金数的数学期望是32.2万元．
若甲先，则甲获作画的概率是
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
若乙先，则甲获胜的概率是
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
∴第一局甲获胜的概率是p1=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 19 |
| 30 |
（Ⅱ）①甲以二比一获胜，即甲胜第一、三局或甲胜第二、三局，
概率是P2=
| 3 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
| 8 |
| 25 |
②由题意知，X的所有可能取值为10，40，45，
P（X=40）=
| 8 |
| 25 |
P（X=45）=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 9 |
| 25 |
P（X=10）=1-
| 8 |
| 25 |
| 9 |
| 25 |
| 8 |
| 25 |
∴X的分布列为：
| X | 10 | 40 | 45 | ||||||
| p |
|
|
|
| 8 |
| 25 |
| 8 |
| 25 |
| 9 |
| 25 |
| 161 |
| 5 |
∴甲队员参加此次决赛获得奖金数的数学期望是32.2万元．
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
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