Question

现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目，若甲应聘成功的概率为

1

2

，乙、丙应聘成功的概率均为

t

2

（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的．
（Ⅰ）若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；
（Ⅱ）若t=

1

2

，求三人中恰有两人应聘成功的概率；
（Ⅲ）记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ=2时对应的概率最大，求E（ξ）的取值范围．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题意得2×

t

2

(1-

t

2

)=

1

2

，由此能求出t的值．
（Ⅱ）t=

1

2

时，甲应聘成功的概率为

1

2

，乙、丙应聘成功的概率均为

1

4

，由此利用相互独立事件乘法公式能求出三人中恰有两人应聘成功的概率．
（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵甲应聘成功的概率为

1

2

，乙、丙应聘成功的概率均为

t

2

（0＜t＜2），
且三人是否应聘成功是相互独立的．
乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，
∴由题意得2×

t

2

(1-

t

2

)=

1

2

，
解得t=1．
（Ⅱ）t=

1

2

时，甲应聘成功的概率为

1

2

，乙、丙应聘成功的概率均为

1

4

，
∴三人中恰有两人应聘成功的概率：
P=

1

2

×

1

4

×(1-

1

4

)+

1

2

×(1-

1

4

)×

1

4

+(1-

1

2

)×(

1

4

)2=

7

32

．
（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-

1

2

）（1-

t

2

）（1-

t

2

）=

(2-t)2

8

，
P（ξ=1）=

1

2

(1-

t

2

)(1-

t

2

)+(1-

1

2

)×

t

2

×(1-

t

2

)+(1-

1

2

)(1-

t

2

)×

t

2

=

4-t2

8

，
P（ξ=2）=

1

2

×

t

2

(1-

t

2

)+

1

2

(1-

t

2

)×

t

2

+（1-

1

2

）×

t

2

×

t

2

=

4t-t2

8

，
P（ξ=3）=

1

2

×

t

2

×

t

2

=

t2

8

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	(2-t)2 8	4-t2 8	4t-t2 8	t2 8

Eξ=0×

(2-t)2

8

+1×

4-t2

8

+2×

4t-t2

8

+3×

t2

8

=t+

1

2

，
由题意知P（ξ=2）-P（ξ=1）=

t-1

2

＞0，
P（ξ=2）-P（ξ=0）=

-t2+4t-2

4

＞0，
P（ξ=2）-P（ξ=3）=

2t-t2

4

＞0，
又0＜t＜2，∴1＜t＜2，
∴

3

2

＜E（ξ）＜

5

2

．

点评：本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．