Question

已知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，（a为常数）
（1）求f（x）的增区间；
（2）若当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）求f（x）的最小正周期；
（4）求出使f（x）取得最大值时，x的取值集合．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（2）由x∈[0，

π

2

]时，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）取得最大值，再根据函数的最大值为4，求得a的值．
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为

2π

ω

，得出结论．
（4）f（x）取得最大值时，2x+

π

6

=2kπ+

π

2

k∈z，由此求得此时x的取值集合．

解答： 解：（1）对于f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，（a为常数），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，可得函数的增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，故当2x+

π

6

=

π

2

时，函数f（x）取得最大值为2+a+1=4，求得a=1．
（3）函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π．
（4）f（x）取得最大值时，2x+

π

6

=2kπ+

π

2

k∈z，故此时x的取值集合为{x|x=kπ+

π

6

，k∈z}．

点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性、周期性、最值，属于中档题．