Question

1．设函数f（x）为R上的增函数，求证：a+b＜0的充要条件是f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）

Answer 1

分析 先证明充分性，由已知中函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，根据a+b＜0，易得a＜-b，b＜-a，进而根据单调性的性质和不等式的性质，即可得到答案．
再证明必要性若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），则a+b＜0，根据正“难”则“反”的原则，我们可以用反证法判定结论的真假．

解答 证明：（充分性）∵函数y=f （x）是R上的增函数
∴当a+b＜0时，a＜-b，b＜-a
∴f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）
∴充分条件成立
（必然性）反证法证明：假设a+b≥0  则a≥-b，b≥-a
又∵函数y=f （x）是R上的增函数
∴f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）
∴f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b） 与条件矛盾
∴假设并不成立，
∴a＞b，
∴必要条件成立
∴a+b＜0的充要条件是f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．

点评 本题考查的知识点是函数单调性的性质，命题的真假判断与应用，其中充分性的关键是将a+b＜0，变形为a＜-b，b＜-a，必要性的关键是根据正“难”则“反”的原则，选用反证法进行论证．