Question

16．在棱长为2的正方体△ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁B₁、CD的中点，则点B到截面AMC₁N的距离为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出点B到截面AMC₁N的距离．

解答 解：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，
∵在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
M、N分别是A₁B₁、CD的中点，
∴A（2，0，0），M（2，1，2），N（0，1，0），B（2，2，0），
$\overrightarrow{AM}$=（0，1，2），$\overrightarrow{AN}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0）
设平面AMN的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
则$\left\{\begin{array}{l}{y+2z=0}\\{-2x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-1），
∴点B到截面AMC₁N的距离：d=$\frac{4}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故选B．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．