Question

10．已知函数f（x）=${x^3}+f'（\frac{2}{3}）{x^2}$-x+c，（其中$f'（\frac{2}{3}）$为f（x）在点x=$\frac{2}{3}$处的导数，c为常数）．
（1）求$f'（\frac{2}{3}）$的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=[f（x）-x³]•e^x，若函数g（x）在区间[-3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算$f'（\frac{2}{3}）$的值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（3）求出g（x）的导数，设h（x）=-x²-3x-1+c，根据函数的单调性得到关于c的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）$f'（x）=3{x^2}+2f'（\frac{2}{3}）x-1$…（1分）$f'（\frac{2}{3}）=-1$…（2分）
（2）f（x）=x³-x²-x+c，f'（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）…（3分）
当f'（x）＞0，即$x＜-\frac{1}{3}$或x＞1时，函数f（x）单调递增；
当f'（x）＜0，即$-\frac{1}{3}＜x＜1$时，函数f（x）单调递减．    …（5分）
∴f（x）单调递增区间为$（-∞，-\frac{1}{3}）$和（1，+∞）f（x）单调递减区间为$（-\frac{1}{3}，1）$…（7分）
（3）g（x）=[f（x）-x³]•e^x=（-x²-x+c）•e^x…（8分）
g'（x）=e^x•（-x²-3x-1+c）…（9分）
∵g（x）在区间[-3，2]上单调递增，…（10分）
∴g'（x）=e^x•（-x²-3x-1+c）≥0恒成立．…（11分）
∵e^x＞0∴-x²-3x-1+c≥0
设h（x）=-x²-3x-1+c，则$\left\{\begin{array}{l}h（-3）≥0\\ h（2）≥0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}c≥1\\ c≥11\end{array}\right.$，∴c≥11…（14分）
故c的取值范围是c≥11．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．