Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=2x²-12x-18，若在区间（0，+∞）上关于函数y=f（x）-log_a（x+1）有3个不同的零点，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：令x=-1，求出f（1），进而可得函数f（x）的周期为2，可画出图形，把问题转化为两函数图象有3个交点，数形结合可得a的不等式组，解不等式组可得．

解答： 解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，
∴令x=-1 可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），∴2f（1）=f（-1），
由偶函数的性质可得f（-1）=f（1），∴f（1）=0
∴f（x+2）=f（x），即f（x）是周期为2的偶函数，
∵当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²
图象为开口向下，顶点为（3，0）的抛物线，
∵若在区间（0，+∞）上关于x的函数y=f（x）-log_a（x+1）有3个不同的零点，
∴y=f（x）与y=log_a（x+1）有3个不同的交点，
数形结合可得0＜a＜1且

loga3＞-2 loga5＜-2

，解得

5

5

＜a＜

3

3

，
故答案为：（

5

5

，

3

3

）

点评：本题考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到数形结合的方法，属中档题．