Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+1，-1≤x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，将函数g（x）=f（x）-x-1的零点按从小到大的顺序排列，构成数列{a_n}，则该数列的通项公式为（　　）

• A． a_n=n-1
• B． a_n=n-2
• C． a_n=n（n-1）
• D． a_n=2ⁿ-2

Answer 1

分析 根据函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+1，-1≤x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，h（x）=x+1，画出图象，得出等差数列即可得出数列通项公式．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+1，-1≤x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，
h（x）=x+1，f（x）=f（x-1）+1，x＞0，
函数的x增加1，函数值增加1，
作出y=f（x）和y=h（x）的图象，如图：
根据f（x）与y=x+1的交点判断
函数g（x）=f（x）-x-1的零点，
a₁=-1，a₂=0，a₃=1，
通过图象可判断{a_n}为等差数列，
得出：a_n=n-2，
故选；B．

点评 本题考查了函数的零点，与函数图象的交点问题，属于运用图象，结合等差数列的知识综合考查的题目，关键是运用分段函数画出图象．