Question

15．已知数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{1+{{a}^{2}}_{n}}}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{1+{{a}^{2}}_{n}}}$，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1．再利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{1+{{a}^{2}}_{n}}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}^{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1．
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}\}$是等差数列，公差为1，首项为1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=1+（n-1）=n，a_n＞0．
∴a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}}$．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}•{a}_{n+1}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
∴数列{b_n}的前n项和=$（\sqrt{2}-1）$+$（\sqrt{3}-\sqrt{2}）$+…+（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）=$\sqrt{n+1}$-1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．