Question

15．已知公差不为0的等差数列{a_n}满足：a₁=1且a₂，a₅，a₁₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n和前n项和S_n；
（2）证明不等式$\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}＜\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}＜2-\frac{1}{n}（n≥2$且n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}公差为d，因为a₂，a₅，a₁₄成等比数列．可得${a_5}^2={a_2}{a_{14}}$，即 （1+4d）²=（1+d）（1+13d）解出d，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）由（1）得 $\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n^2}$，因为 当n≥2时，$\frac{1}{n（n+1）}＜\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{n（n-1）}$．即$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}＜\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$．即可证明．

解答 解：（1）设数列{a_n}公差为d，因为a₂，a₅，a₁₄成等比数列．
所以${a_5}^2={a_2}{a_{14}}$，即 （1+4d）²=（1+d）（1+13d）得3d²-6d=0又d≠0，所以d=2．
故 ${a_n}=1+2（n-1）=2n-1，{S_n}=\frac{（1+2n-1）n}{2}={n^2}$．（6分）
（2）证明：由（1）得  $\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n^2}$，因为 当n≥2时，$\frac{1}{n（n+1）}＜\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{n（n-1）}$．
即$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}＜\frac{1}{n^2}＜\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$．
所以$1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}＜1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{n^2}＜1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$．
即$\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}＜\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}＜2-\frac{1}{n}$．（12分）

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、放缩方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．