Question

一个椭圆C₁的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2

13

，一双曲线C₂和椭圆C₁有公共焦点，且双曲线C₂的实半轴长比椭圆C₁的半长轴长小4，双曲线C₂的离心率e₂与椭圆C₁离心率e₁之比为7：3，求椭圆C₁和双曲线C₂的方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆、双曲线的标准方程分别为

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0）、

x2

a22

-

y2

b22

=1（a₂＞0，b₂＞0），由题意得

a12-b12=13 a22+b22=13 a1-a2=4 c a2 c a1  = 7 3

，由此能求出椭圆C₁和双曲线C₂的标准方程．

解答： 解：设椭圆、双曲线的标准方程分别为

x2

a12

+

y2

b12

=1（a₁＞b₁＞0）、

x2

a22

-

y2

b22

=1（a₂＞0，b₂＞0），
由题意得

a12-b12=13 a22+b22=13 a1-a2=4 c a2 c a1  = 7 3

，
解得a₁=7，a₂=3，b₁=6，b₂=2，
所以椭圆C₁和双曲线C₂的标准方程分别为

x2

49

+

y2

36

=1和

x2

9

-

y2

4

=1．

点评：本题考查椭圆和双曲线方程的求法，是中档题，解题时要注意圆锥曲线的性质的合理运用．