题目内容
设数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，若数列{an}中任意不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列为“F数列”．
（1）若a1=4，d=2，判断该数列是否为“F数列”．
（2）若a1，d∈N，是否存在这样的“F数列”，使S10≤70？若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
（3）试问：数列{an}为“F数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明．
（1）若a1=4，d=2，判断该数列是否为“F数列”．
（2）若a1，d∈N，是否存在这样的“F数列”，使S10≤70？若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
（3）试问：数列{an}为“F数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明．
考点：数列的应用
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）求出an，利用新定义判断数列{an}为“F数列”．
（2）假设存在数列{an}满足条件，即10a1+45d≤70，推出a1和d的可能值，求解满足条件的数列通项公式即可．
（3）结论：数列{an}为“F数列”的充要条件是存在整数m≥-1使a1=md，利用证明充分性，以及证明必要性说明充要条件即可．
（2）假设存在数列{an}满足条件，即10a1+45d≤70，推出a1和d的可能值，求解满足条件的数列通项公式即可．
（3）结论：数列{an}为“F数列”的充要条件是存在整数m≥-1使a1=md，利用证明充分性，以及证明必要性说明充要条件即可．
解答：
（本小题满分16分）
解 （1）由题意，an=2n+2，对于任意m，n有am+an=2（m+n+1）+2，因m+n+1∈N*，
于是令P=m+n+1，则有ap=2p+2∈{an}，
所以数列{an}为“F数列”．------------（4分）
（2）假设存在数列{an}满足条件，即10a1+45d≤70，则a1和d的可能值
①d=0，a1=0，1，2，3，4，5，6，7，此时an=0是“F数列”
②d=1，a1=0，1，2 此时an=n-1，an=n，an=n+1均为“F数列
所以满足条件的数列通项公式为an=0，an=n-1，an=n，an=n+1-----------------（8分）
（3）结论：数列{an}为“F数列”的充要条件是存在整数m≥-1使a1=md------（10分）
证明：ⅰ） 充分性 若存在整数m≥-1使a1=md，则任取等差数列的两项as，at（s≠t）
因s+t≥3，m≥-1所以s+t+m-1为≥1的正整数，
于是as+at=a1+（s-1）d+md+（t-1）d=a1+（s+t+m-2）d=am+s+t-1∈{an}-------（12分）
ⅱ） 必要性 任取等差数列的两项as，at（s≠t），若存在ak使得as+at=ak
则2a1+（s+t-2）d=a1+（k-1）d，于是a1=（k-s-t+1）d，故存在m=k-s-t+1∈Z
使a1=md，下面证明m≥-1．
当d=0，显然成立
当d≠0，若m＜-1，则取p=-m≥-2，对不同的两项a1，ap，存在aq使a1+ap=aq．
即2md+（-m-1）d=md+（q-1）d，可得qd=0，这与q＞0，d≠0矛盾
故存在整数m≥-1使a1=md-----------------------------------------（16分）
解 （1）由题意，an=2n+2，对于任意m，n有am+an=2（m+n+1）+2，因m+n+1∈N*，
于是令P=m+n+1，则有ap=2p+2∈{an}，
所以数列{an}为“F数列”．------------（4分）
（2）假设存在数列{an}满足条件，即10a1+45d≤70，则a1和d的可能值
①d=0，a1=0，1，2，3，4，5，6，7，此时an=0是“F数列”
②d=1，a1=0，1，2 此时an=n-1，an=n，an=n+1均为“F数列
所以满足条件的数列通项公式为an=0，an=n-1，an=n，an=n+1-----------------（8分）
（3）结论：数列{an}为“F数列”的充要条件是存在整数m≥-1使a1=md------（10分）
证明：ⅰ） 充分性 若存在整数m≥-1使a1=md，则任取等差数列的两项as，at（s≠t）
因s+t≥3，m≥-1所以s+t+m-1为≥1的正整数，
于是as+at=a1+（s-1）d+md+（t-1）d=a1+（s+t+m-2）d=am+s+t-1∈{an}-------（12分）
ⅱ） 必要性 任取等差数列的两项as，at（s≠t），若存在ak使得as+at=ak
则2a1+（s+t-2）d=a1+（k-1）d，于是a1=（k-s-t+1）d，故存在m=k-s-t+1∈Z
使a1=md，下面证明m≥-1．
当d=0，显然成立
当d≠0，若m＜-1，则取p=-m≥-2，对不同的两项a1，ap，存在aq使a1+ap=aq．
即2md+（-m-1）d=md+（q-1）d，可得qd=0，这与q＞0，d≠0矛盾
故存在整数m≥-1使a1=md-----------------------------------------（16分）
点评：本题考查新定义的应用，数列的应用，考查分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
津桥教育计算小状元系列答案
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下列说法错误的是（ ）
| A、在统计里，从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本的容量 |
| B、一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 |
| C、平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 |
| D、一组数据的方差越大，说明这组数据的波动性越大 |
已知向量
=(cosα，sinα)，
=(cos(α+
)，sin(α+
))，则|
-
|=（ ）
| a |
| b |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| a |
| b |
| A、1 | ||
B、
| ||
| C、2 | ||
D、
|