Question

设函数f（x）=-x³+2x²-x（x∈R）
（1）求曲线y=f（x）在点（2，f（x））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出曲线y=f（x）的导数，以及点（2，f（x））的坐标，利用点斜式求解切线方程；
（2）利用好的导数，求出极值点，判断函数的单调性，即可函数f（x）在区间[0，2]上的最大值与最小值．

解答： 解．（1）由条件得：函数的导数f′（x）=-3x²+4x-1，所以 f′（2）=-5．
又f（2）=-2．所以 曲线f（x）在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），
整理得  5x+y-8=0    （6分）
（2）由（1）知f'（x）=-3x²+4x-1=-（3x-1）（x-1）．
令f'（x）=0，解得x=

1

3

或x=1．
当x∈[0，2]时，f'（x），f（x）变化情况如下表：

x	0	(0， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，1)	1	（1，2）	2
f'（x）		-	0	+	0	-
f（x）	0	递减	- 4 27	递增	0	递减	-2

因此，函数f（x）=-x³+2x²-x，x∈[0，2]的最大值为0，最小值为-2．…（12分）

点评：本题考查函数的导数的应用，闭区间上的最值的求法，切线方程的求法，考查计算能力以及基本知识的应用．