Question

已知函数f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m
（1）当a=-3，m=0时，求方程f（x）-g（x）=0的解；
（2）若方程f（x）=0在[-1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；
（3）当a=0时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接把a=-3，m=0代入方程，求解一元二次方程得答案；
（2）求出函数f（x）的对称轴，得到f（x）在区间[-1，1]上是减函数，由函数在区间[-1，1]上存在零点得不等式组

f(1)≤0 f(-1)≤0

，求解不等式组得实数a的取值范围；
（3）把对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立转化为函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集，然后求g（x）的值域得答案．

解答： 解：（1）当a=-3，m=0时，求方程f（x）-g（x）=0化为x²-4x-5=0，
解得：x=-1或x=5；
（2）∵函数f（x）=x²-4x+a+3的对称轴是x=2，
∴f（x）在区间[-1，1]上是减函数，
∵函数在区间[-1，1]上存在零点，则必有：

f(1)≤0 f(-1)≤0

，即

a≤0 a+8≥0

，解得-8≤a≤0．
故所求实数a的取值范围为[-8，0]；
（3）若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，
只需函数y=f（x）的值域为函数y=g（x）的值域的子集．
f（x）=x²-4x+3，x∈[1，4]的值域为[-1，3]，
下面求g（x）=mx+5-2m的值域．
①当m=0时，g（x）=5-2m为常数，不符合题意舍去；
②当m＞0时，g（x）的值域为[5-m，5+2m]，要使[-1，3]⊆[5-m，5+2m]，
需

5-m≤-1 5+2m≥3

，解得m≥6；
③当m＜0时，g（x）的值域为[5+2m，5-m]，要使[-1，3]⊆[5+2m，5-m]，
需

5+2m≤-1 5-m≥3

，解得m≤-3．
综上，m的取值范围为（-∞，-3]∪[6，+∞）．

点评：本题考查了函数的零点，考查了函数恒成立问题，训练了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．