Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为ABCD-A₁B₁C₁D₁、ABCD-A₁B₁C₁D₁的中点．
（1）求证：AC⊥BD₁；
（2）AE∥平面BFD₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接BD，交AC于0，通过证明AC⊥BD，DD₁⊥AC利用线面垂直的判定定理证明出AC⊥平面BDD₁，进而根据线面垂直的性质证明出AC⊥BD₁．
（2）连接EF，构造出四边形ABEF并证明其为平行四边形，进而推断出AE∥BF，利用线面平行的判断定理证明出AE∥平面BFD₁．

解答： （1）证明：连接BD，交AC于0，
∵DD₁⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD，
∴DD₁⊥AC，
∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵BD?平面BDD₁，DD₁?平面BDD₁，BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面BDD₁，
∵BD₁?平面BDD₁，
∴AC⊥BD₁．
（2）连接EF，
∵E，F为中点，
∴EF∥CD，且EF=CD，
∵AB∥CD，且AB=CD，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴AE∥BF，
∵BF?平面BFD₁，AE?平面BFD₁，
∴AE∥平面BFD₁．

点评：本题主要考查线面垂直和线面平行的判定定理的运用．注重了对学生基础知识的考查．