Question

正项等比数列{a_n}中，存在两项a_m，a_n使得

am•an

=4a₁，且a₆=a₅+2a₄，则

1

m

+

4

n

最小值

 

．

Answer 1

考点：基本不等式,等比数列的通项公式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用等比数列的通项公式可得q，进而点到m+n=6，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0．
∵

am•an

=4a₁，且a₆=a₅+2a₄，
∴

a1qm-1•a1qn-1

=4a1，a1q5=a1q4+2a1q3，
化为q

m+n-2

2

=4，q²-q-2=0，q＞0．
解得q=2，∴

m+n-2

2

=2，即m+n=6．
∴

1

m

+

4

n

=

1

6

(m+n)(

1

m

+

4

n

)=

1

6

(1+4+

n

m

+

4m

n

)≥

1

6

(5+2

n m • 4m n

)=

3

2

，当且仅当n=2m=4时取等号．
∴

1

m

+

4

n

最小值为

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．