Question

6．已知函数f（x）=$\frac{{4}^{x}-{4}^{-x}}{3}$+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），那么关于x的不等式f（2x-6）+f（x）＞0的解集为（　　）

• A． {x|x＞-2}
• B． {x|x＞2}
• C． {x|0＜x＜2}
• D． {x|-2＜x＜2}

Answer 1

分析 根据条件先判断函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行等价转化进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{4}^{x}-{4}^{-x}}{3}$+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），
∴f（-x）=$\frac{{4}^{-x}-{4}^{x}}{3}$+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=-$\frac{{4}^{x}-{4}^{-x}}{3}$+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）^-1=-（$\frac{{4}^{x}-{4}^{-x}}{3}$+log₃（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x））=-f（x），
即函数f（x）是奇函数，
且函数f（x）在R上是增函数，
则不等式f（2x-6）+f（x）＞0等价为f（2x-6）＞-f（x）=f（-x），
即2x-6＞-x，即3x＞6，得x＞2，
即不等式的解集为{x|x＞2}，
故选：B．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性以及单调性是解决本题的关键．