题目内容
4．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程及曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线C1，C2交于O，A两点，过O点且垂直于OA的直线与曲线C1，C2交于M，N两点，求|MN|的值．
分析 （I）曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），利用平方关系可得普通方程．利用互化公式可得：曲线C1的极坐标方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ，可得：ρ2=ρsinθ，利用互化公式可得：曲线C2的直角坐标方程．
（II）联立$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{ρ=sinθ}\end{array}\right.$，可得tanθ=2，设点A的极角为θ，则tanθ=2，可得sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则M$（{ρ}_{1}，θ-\frac{π}{2}）$，代入ρ=2cosθ，可得：ρ1．N$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}）$，代入ρ=sinθ，可得：ρ2．可得：|MN|=ρ1+ρ2．
解答 解：（I）曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），
利用平方关系可得：（x-1）2+y2=1，化为x2+y2-2x=0．
利用互化公式可得：曲线C1的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ，可得：ρ2=ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=y．
（II）联立$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2cosθ}\\{ρ=sinθ}\end{array}\right.$，可得tanθ=2，设点A的极角为θ，则tanθ=2，可得sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则M$（{ρ}_{1}，θ-\frac{π}{2}）$，代入ρ=2cosθ，可得：ρ1=2cos$（θ-\frac{π}{2}）$=2sinθ=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
N$（{ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}）$，代入ρ=sinθ，可得：ρ2=sin$（θ+\frac{π}{2}）$=cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
可得：|MN|=ρ1+ρ2=$\sqrt{5}$．
点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
金钥匙试卷系列答案| A． | 4 | B． | -6 | C． | -10 | D． | 10 |
一拱桥的形状为抛物线，该抛物线拱的高为h，宽为b，此抛物线拱的面积为S，若b=3h，则S等于（ ）| A． | h2 | B． | $\frac{3}{2}$h2 | C． | $\sqrt{3}$h2 | D． | 2h2 |
