Question

11．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}2x-y≤0\\ x-3y+5≥0\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，则$z={（{\frac{1}{4}}）^x}•{（{\frac{1}{2}}）^y}$的最小值为$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，结合指数幂的运算法则，通过平移即先求出z的最小值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
$z={（{\frac{1}{4}}）^x}•{（{\frac{1}{2}}）^y}$=（$\frac{1}{2}$）^2x+y，
设m=2x+y，
由m=2x+y，得y=-2x+m，
平移直线y=-2x+m，由图象可知当直线y=-2x+m经过点A时，直线y=-2x+m的截距最大，此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{x-3y+5=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
即A（1，2），
此时m=2×1+2=4，z═（$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{1}{16}$
故答案为：$\frac{1}{16}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．