Question

3．已知命题p：在x∈[1，2]内，不等式x²+ax-2＞0恒成立；命题q：函数f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}-2ax+3a）$是区间[1，+∞）上的减函数，若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别判断出p，q的真假，从而判断出 复合命题的真假，进而求出a的范围即可．

解答 解：关于命题p：在x∈[1，2]内，不等式x²+ax-2＞0恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤1}\\{f（1）=a-1＞0}\end{array}\right.$，解得：a＞1；
关于命题q：函数f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}-2ax+3a）$是区间[1，+∞）上的减函数，
即y=x²-2ax+3a在x∈[1，+∞）单调递增且恒为正，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{1+a＞0}\end{array}\right.$，解得：-1＜a≤1，
若命题“p∨q”是真命题，
则p，q至少有一个是真命题，
∴a＞-1．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道基础题．