Question

8．已知函数y=a-bcos（2x+$\frac{π}{6}$）的最大值为3，最小值为-1．
（1）求a，b的值；
（2）设函数g（x）=4asin（bx-$\frac{π}{3}$），求方程g（x）-2=0在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{5}{6}$π]上所有根之和．

Answer 1

分析 （1）由条件利用函数的最大值为a+|b|=3，最小值为a-|b|=-1，求得a、b的值．
（2）本题即求函数y=4sin（bx-$\frac{π}{3}$）的图象和直线y=2的交点的横坐标之和，数形结合可得结论．

解答 解：（1）由于函数y=a-bcos（2x+$\frac{π}{6}$）的最大值为a+|b|=3，最小值为a-|b|=-1，
求得a=1，|b|=2，∴a=1，b=2； 或a=1，b=-2．
（2）设函数g（x）=4sin（bx-$\frac{π}{3}$），方程g（x）-2=0在区间[$\frac{π}{6}$，$\frac{5}{6}$π]上所有根之和，
即函数y=4sin（bx-$\frac{π}{3}$）的图象和直线y=2的交点的横坐标之和．
当b=2时，令t=2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{4π}{3}$]，x=$\frac{t}{2}$+$\frac{π}{6}$，本题即求y=4sint的图象和直线y=2的交点的横坐标之和．
如图所示，
∵t₁+t₂=π，∴x₁+x₂=$\frac{5π}{6}$．
当b=-2时，令t=-2x-$\frac{π}{3}$∈[-2π，-$\frac{2π}{3}$]，x=-$\frac{t}{2}$-$\frac{π}{6}$，本题即求y=4sint的图象和直线y=2的交点的横坐标之和．
如图所示，
∵t₁+t₂=-3π，∴x₁+x₂=$\frac{3π}{2}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{6}$．

点评 本题主要考查正弦函数的最值，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．