Question

12．已知函数f（x）=a^x+a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）设g（x）=$\frac{1}{f（x）}$，当x∈（0，1）时，求函数g（x）的值域；
（3）若f（1）=$\frac{5}{2}$，设h（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）的最小值为-7，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）的定义域为R．计算f（-x）与±f（x）的关系，即可判断出．
（2）x∈（0，1）时，a^x＞0.0＜g（x）=$\frac{1}{f（x）}$=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{2x}+1}$=$\frac{1}{{a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}}$，即可得出函数g（x）的值域．
（3）f（1）=$\frac{5}{2}$=a+a^-1，解得a=2．h（x）=（2^x+2^-x-m）²-m²-2，对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为R．
f（-x）=a^-x+a^x=f（x），
∴函数f（x）为偶函数．
（2）x∈（0，1）时，a^x＞0.0＜g（x）=$\frac{1}{f（x）}$=$\frac{{a}^{x}}{{a}^{2x}+1}$=$\frac{1}{{a}^{x}+\frac{1}{{a}^{x}}}$＜$\frac{1}{2}$，∴函数g（x）的值域为$（0，\frac{1}{2}）$．
（3）f（1）=$\frac{5}{2}$=a+a^-1，解得a=2．
h（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x+2^-x）=（2^x+2^-x-m）²-m²-2，
当m≤2时，h（x）的最小值为h（0）=2-4m=-7，解得m=$\frac{9}{4}$，舍去；
当m＞2时，h（x）的最小值为-m²，∴-m²-2=-7，解得m=$\sqrt{5}$．
综上可得：m=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性、二次函数的单调性，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．