Question

已知抛物线y²=4x内一定点E（m，0），（m＞0），过点E作斜率分别为k₁，k₂的两条直线，交抛物线于A、B和C、D，且M，N分别是线段AB、CD的中点．
（1）若m=1，k₁=

3

时，求弦|AB|的长度；
（2）若k₁+k₂=1，判断直线MN是否过定点？并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）通过m=1，k₁=

3

时，利用抛物线的性质|AB|=x₁+x₂+p，联立方程组利用韦达定理求解弦|AB|的长度即可．
（2）设出AB的方程，联立方程组，利用k₁+k₂=1，求出M、N的坐标，求出MN的斜率，推出MN的直线方程，即可求出直线MN恒过定点．

解答： 解：（1）当m=1，则E（1，0）为抛物线焦点，即AB为抛物线的一条焦点弦，
k1=

3

设AB：y=

3

(x-1)，则|AB|=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2
联立：

y= 3 (x-1) y2=4x

得：3x²-10x+3=0∴x1+x2=

10

3

则|AB|=x₁+x₂+2=

16

3

（2）设AB：y=k₁（x-m）
联立：

y=k1(x-m) y2=4x

得：k1y2-4y-4mk1=0，
则M为（

2

k 2 1

+m，

2

k1

）  同理：N为（

2

k 2 2

+m，

2

k2

）
若k₁+k₂=1，则M为（

2

k 2 1

+m，

2

k1

）  N为（

2

k 2 2

+m，

2

k2

），k_MN=

2 k2 - 2 k1

2 k 2 2 - 2 k 2 1

=

k1k2

k1+k2

=k1k2
直线MN为：y-

2

k1

=k1k2[x-(

2

k 2 1

+m)]化为：y=k₁k₂（x-m）+2，
显然直线恒过点（m，2）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力．