题目内容
已知双曲线y2-
=1的两个焦点为F1、F2，若A、B分别为渐近线l1、l2上的点，且2|AB|=5|F1F2|．求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线？
| x2 |
| 3 |
考点：轨迹方程
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y），利用2|AB|=5|F1F2|，建立方程，根据A、B分别为l1、l2上的点，化简可得轨迹方程及对应的曲线．
解答：
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y）
∵2|AB|=5|F1F2|，∴|AB|=
|F1F2|=10，∴
=10
∵y1=
x1，y2=-
x2，2x=x1+x2，2y=y1+y2
∴y1+y2=
（x1-x2），y1-y2=
（x1+x2），
∴3×(2y)2+
×(2x)2=100
∴
+
=1，对应的曲线为椭圆．
∵2|AB|=5|F1F2|，∴|AB|=
| 5 |
| 2 |
| (x1-x2)2+(y1-y2)2 |
∵y1=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∴y1+y2=
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∴3×(2y)2+
| 1 |
| 3 |
∴
| x2 |
| 75 |
| 3y2 |
| 25 |
点评：本题考查轨迹方程的求解，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知抛物线y2=4x内一定点E（m，0），（m＞0），过点E作斜率分别为k1，k2的两条直线，交抛物线于A、B和C、D，且M，N分别是线段AB、CD的中点．
如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作DE⊥AE于点E，延长ED与圆O交于点C．