Question

从一批有10件合格品与3件次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各件产品被抽取到的可能性相同，在下列两种情况下，分别求出直到取到合格品为止所需抽取的次数X的分布列．
（1）每次取出的产品都不放回该批产品中；
（2）每次取出的产品都立即放回该批产品中．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）若每次取出的产品都不放回该批产品中，则X的取值可能为：1，2，3，4，依次计算出X=1，2，3，4时的概率，可得抽取次数X的分布列．
（2）若每次取出的产品都放回该批产品中，则X的取值可能为：1，2，3，4，…，依次计算出X=1，2，3，…，n，…时的概率，可得抽取次数X的分布列．

解答： 解：（1）若每次取出的产品都不放回该批产品中，
则X的取值可能为：1，2，3，4，
P（X=1）=

10

13

，
P（X=2）=

3

13

•

10

12

=

5

26

，
P（X=3）=

3

13

•

2

12

•

10

11

=

5

143

，
P（X=4）=

3

13

•

2

12

•

1

11

•

10

10

=

1

286

，
∴X的分布如下：

X	1	2	3	4
P	10 13	5 26	5 143	1 286

（2）若每次取出的产品都立即放回该批产品中．
则X的取值可能为：1，2，3，4，…
P（X=1）=

10

13

，
P（X=2）=

3

13

•

10

13

=

3×10

132

，
P（X=3）=

3

13

•

3

13

•

10

13

=

32×10

133

，
…
P（X=n）=

3

13

•

3

13

•…•

3

13

•

10

13

=

3n-1×10

13n

，
∴X的分布如下：

X	1	2	3	…	n	…
P	10 13	3×10 132	32×10 133	…	3n-1×10 13n	…

点评：本题考查离散型随机变量的分布列，属中档题．