Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），离心率为

1

2

，A₁，A₂是椭圆长轴的端点，长轴长为4，椭圆外一点M在直线x=-4上动，直线MA₁与椭圆的另一交点为P，直线MA₂与椭圆的另一交点为Q．
（1）求证：直线PQ过定点R，并求出R点坐标；
（2）R点关于y轴的对称点为S，直线QS与椭圆的另一交点为T，设

QR

=λ

RP

，

QS

=μ

ST

，求证：λ+μ为定值，并求出这个定值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：证明题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：对于第（1）问，先求出椭圆C的方程，设M（-4，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），用y₀表示直线MP及MQ的方程，分别与椭圆方程联立，得P，Q的坐标，于是得直线PQ的方程，根据此方程及对称性可探究定点坐标；
对于第（2）问，先由R的坐标及对称性，得点S的坐标，从而用y₀表示直线QS的方程，联立椭圆的方程，可表示点T的纵坐标，由

QR

=λ

RP

，

QS

=μ

ST

，分别得各向量纵坐标的关系，用y₀表示λ，μ，算出λ+μ，即可达到目的．

解答： 解：（1）证明：由e=

c

a

=

1

2

及2a=4，得a=2，c=1，则b²=a²-c²=3，
所以椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，不妨设A₁（-2，0），A₂（2，0）．
又设M（-4，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
易知MA₁的斜率为kMA1=

y0-0

-4+2

=-

y0

2

，则直线MP的方程为y=-

y0

2

(x+2)，
联立椭圆方程，消去x，
得(3+y0)x2+4

y

2 0

x+4

y

2 0

-12=0，即[(3

+y

2 0

)x+

2y

2 0

-6](x+2)=0，
得x1=

6- 2y 2 0

3 +y 2 0

，从而y1=-

y0

2

(x1+2)=-

6y0

3 +y 2 0

，即P(

6- 2y 2 0

3 +y 2 0

，-

6y0

3 +y 2 0

)．
同理，得Q(

2y 2 0 -54

y 2 0 +27

，

18y0

y 2 0 +27

)．
（i）当P，Q的横坐标不相同即

y

2 0

≠9时，直线PQ的斜率为kPQ=

6y0

y 2 0 -9

，
得直线PQ的方程为y+

6y0

3 +y 2 0

=

6y0

y 2 0 -9

(x-

6- 2y 2 0

3 +y 2 0

)，
由对称性知，若直线PQ过定点，则此定点必在x轴上．
在上式中，令y=0，得x=-1，此时直线PQ过定点（-1，0）．
（ii）当

y

2 0

=9时，直线PQ的方程为x=-1，PQ亦过点（-1，0）．
综合（i）、（ii）知，直线PQ过定点R（-1，0）．
（2）证明：易知点S的坐标为（1，0），设T（x₃，y₃）．
（i）当

y

2 0

≠81时，QS的斜率为kQS=

18y0

y 2 0 -81

，从而直线QS的方程为y=

18y0

y 2 0 -81

（x-1），
联立椭圆方程，消去x，得(27+

y

2 0

)(

3y

2 0

+729)y2+108(

y

2 0

-81)y-9×(18y0)2=0，
即[(27

+y

2 0

)y-18y0][

(y

2 0

+243)y+54y0]=0，得y3=-

54y0

y 2 0 +243

．
由

QR

=λ

RP

，得-

18y0

27+ y 2 0

=λ•(-

6y 2 0

3 +y 2 0

)，即λ=

9+ 3y 2 0

27 +y 2 0

．
同理，由

QS

=μ

ST

，得μ=

y 2 0 +243

3(27+ y 2 0 )

．于是λ+μ=

3(9+3 y 2 0 )+ y 2 0 +243

3(27+ y 2 0 )

=

10( y 2 0 +27)

3(27+ y 2 0 )

=

10

3

．
（ii）当

y

2 0

=81时，易知，λ=

7

3

，μ=1，也有λ+μ=

10

3

．
综上知，λ+μ为定值，且这个定值为

10

3

．

点评：1．本题属椭圆中的定点与定值问题，综合性强，对能力的要求较高，且计算量较大，考查了直线与椭圆的相交关系，值得注意的是，当直线的倾斜程度不确定时，应讨论斜率不存在的情况．
2．处理直线过定点问题的常见思路是：先引入参数，再用参数表示直线方程，从此方程中探求定点．
3．证明代数式为定值的常见思路是：先引入参数，再运用参数表示代数式，最后通过加、减、乘、除的方式消去参数，即引参、用参、消参．