题目内容
已知双曲线中心在原点，且一个焦点为（
，0），直线y=x-1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为-
，求此双曲线的方程．
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考点：双曲线的标准方程
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN的中点的横坐标为-
，即得双曲线方程．
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解答：
解 设双曲线方程为
-
=1（a＞0，b＞0），依题意c=
，
∴方程可以化为
-
=1，
由直线代入得（7-2a2）x2+2a2x-8a2+a4=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
，
∵MN的中点的横坐标为-
，
∴
×
=-
，解得a2=2，
∴双曲线的方程为
-
=1．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 7 |
∴方程可以化为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 7-a2 |
由直线代入得（7-2a2）x2+2a2x-8a2+a4=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
| -2a2 |
| 7-2a2 |
∵MN的中点的横坐标为-
| 2 |
| 3 |
∴
| 1 |
| 2 |
| -2a2 |
| 7-2a2 |
| 2 |
| 3 |
∴双曲线的方程为
| x2 |
| 2 |
| y2 |
| 5 |
点评：本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．
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