Question

已知集合A={x|x²+4ax-4a+3=0}，B={x|x²+2ax-2a=0}，C={x|x²+（a-1）x+a²=0}．
（1）若A、B、C中至少有一个不是空集，求a的取值范围；
（2）若A、B、C中至多有一个不是空集，求a的取值范围．

Answer 1

考点：空集的定义、性质及运算

专题：集合

分析：（1）可考虑问题的反面，即三个集合都是空集，则问题就简单多了；
（2）至多一个非空，则三个集合中可能是两个空集一个非空、或是三个皆空．

解答： 解：对于A，若为空集，则（4a）²-4（3-4a）＜0，解得-

3

2

＜a＜

1

2

①；
对于B，若为空集，则（2a）²+8a＜0，解得-2＜a＜0②；
对于C，若为空集，则（a-1）²-4a²＜0，解得a＜-1或a＞

1

3

③，
（1）若A、B、C中至少有一个不是空集，其对立面为三个集合全是空集，联立①②③
解得-

3

2

＜a＜-1，所以A，B，C中至少有一个非空的a范围是a≤-

3

2

或a≥-1．
（2）若A、B、C中至多有一个不是空集，则三个集合全空；或两个空集，一个非空，
先求两空一非空：
则有

- 3 2 ＜a＜ 1 2 -2＜a＜0 -1≤a≤ 1 3

或

- 3 2 ＜a＜ 1 2 a＜-1或a＞ 1 3 a≤-2或a≥0

或

a≤- 3 2 或a≥ 1 2 -2＜a＜0 a＜-1或a＞ 1 3

解这三个不等式组得-1＜a＜0或

1

3

＜a＜

1

2

或-2＜a≤-

3

2

，结合（1）中三个集合全空的a范围，取它们的并集得：
a的范围是（-2，-1）∪（-1，0）∪（

1

3

，

1

2

）．

点评：本题主要以方程的根的个数的判断为切入点考查集合的运算问题，要真正理解至多、至少得真正含义，才能做好本题．