Question

已知二次函数f（x）对任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）成立，设向量

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（cos2x，1），

d

=（1，2），当x∈[0，π]时，求不等式f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）的解集．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设f（x）的二次项系数为m，由于二次函数f（x）对任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）成立，可得函数
f（x）的图象关于直线x=1对称．而

a

•

b

=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=cos2x+2≥1，对 m分类讨论，利用二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：设f（x）的二次项系数为m，
∵二次函数f（x）对任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）成立，
∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称．
∵

a

•

b

=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=cos2x+2≥1，
①当m＞0时，∵f（x）在x≥1内是增函数，
不等式f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）?f（2sin²x+1）＞f（cos2x+1）?2sin²x+1＞cos2x+2，化为cos2x＜0，
2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+

3π

2

，k∈Z．
∵0≤x≤π，∴

π

4

＜x＜

3π

4

．
②当m＜0时，∵f（x）在x≥1内是减函数．
同理可得0≤x＜

π

4

或

3π

4

＜x≤π，k∈Z．
综上不等式f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）的解集是：
当m＞0时，为{x|

π

4

＜x＜

3π

4

}；
当m＜时，为{x|0≤x＜

π

4

或

3π

4

＜x≤π，k∈Z}．

点评：本题考查了二次函数的对称性、单调性、余弦函数的单调性、数量积运算，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．