Question

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过A（-2，0）、B（1，

3

2

）两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若椭圆E的左、右焦点分别是F₁、F₂，过点F₂的直线l与椭圆E交于M、N两点，则△F₁MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由已知得

4 a2 =1 1 a2 + 9 4b2 =1

，由此能求出椭圆E的方程．
（2）设M（x₁，y₁）、N（x²，y²），不妨设y₁＞0，y₂＜0，设△F₁MN的内切圆的半径为R，则S△F1MN=

1

2

（|MN|+|MF₁|+|NF₁|）R=4R当S△F1MN最大时，R也最大，△F₁MN的内切圆的面积也最大，由此能求出△F₁MN的内切圆的面积的最大值是

9π

16

，此时，m=0，直线l的方程是x=1．

解答： 解：（1）设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵椭圆E经过A（-2，0）、B（1，

3

2

）两点，
∴

4 a2 =1 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得a²=4，b²=3，
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设M（x₁，y₁）、N（x²，y²），不妨设y₁＞0，y₂＜0，
设△F₁MN的内切圆的半径为R，
则S△F1MN=

1

2

（|MN|+|MF₁|+|NF₁|）R
=

1

2

[（|MF₁|+|MF₂|）+（|NF₁|+|NF₂|）]R=4R
当S△F1MN最大时，R也最大，△F₁MN的内切圆的面积也最大，
又S△F1MN=

1

2

|F₁F₂||y₁|+

1

2

|F₁F₂||y₂|，
|F₁F₂|=2c=2
∴S△F1MN=|y₁|+|y₂|=y₁-y₂，
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
则△=（6m）²+4×9（3m²+4）＞0恒成立，
y₁+y₂=

-6m

3m2+4

，y₁•y₂=

-9

3m2+4

，
∴y₁-y₂=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( -6m 3m2+4 )2-4× -9 3m2+4

=

12 m2+1

3m2+4

，
∴S△F1MN=

12 m2+1

3m2+4

，
设

m2+1

=t，则t≥1，且m2=t-1，
∴S△F1MN=

12t

3(t-1)2+4

=

12t

3t2+1

，
∴函数f（t）在[1，+∞）上是单调减函数，
∴fmax（t）=f（1）=3，即S△F1MN的最大值是3
∴4R≤3，R≤

3

4

，即R的最大值是

3

4

，
∴△F₁MN的内切圆的面积的最大值是

9π

16

，
此时，m=0，直线l的方程是x=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形内切圆面积的最大值的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．