Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB于点F．
（1）求证：面PBC⊥面EFD；
（2）求二面角C-PB-D的正切值大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据已知条件便知，DE⊥BC，DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC，所以PB⊥DE，又PB⊥EF，所以PD⊥平面DEF，所以面PBC⊥面EFD；
（2）通过（1）知∠DFE是二面角C-PB-D的平面角，并且△DEF是直角三角形，设PD=1，容易求出DE=

2

2

，根据△PEF∽△PBC，可求出EF，继而求出DF，则二面角C-PB-D的正切值便是：

DE

DF

，把求得的DE，DF带入即可．

解答： 解：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD；
∴PD⊥BC，即BC⊥PD，又BC⊥CD，PD∩CD=D；
∴BC⊥平面PCD，DE?平面PCD，∴BC⊥DE，即DE⊥BC；
∵PD=DC，E是PC的中点；
∴DE⊥PC，PC∩BC=C；
∴DE⊥平面PBC，PB?平面PBC；
∴DE⊥PB，即PB⊥DE，又PB⊥EF，DE∩EF=E；
∴PB⊥平面EFD，PB?平面PBC；
∴平面PBC⊥平面EFD；
（2）PB⊥平面EFD，∴PB⊥EF，PB⊥DF；
∴∠DFE是二面角C-PB-D的平面角；
由（1）知DE⊥平面PBC，EF?平面PBC；
∴DE⊥EF，即△DEF为Rt△；
设PD=1，则DE=

2

2

；
由（1）知△PBC为Rt△，∴△PEF∽△PBC，∴

EF

BC

=

PE

PB

，∴EF=

1

2PB

；
在Rt△PDB中，PB=

1+2

=

3

，∴EF=

3

6

；
∴DF=

DE2+EF2

=

1 2 + 1 12

=

21

6

；
∴tan∠DFE=

DE

DF

=

2 2

21 6

=

42

7

．

点评：考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，二面角的概念，二面角的平面角，以及三角形相似．