Question

已知a＜b，若函数f（x），g（x）满足

∫

b a

f(x)dx=

∫

b a

g(x)dx，则称f（x），g（x）为区间[a，b]上的一组“等积分”函数，给出四组函数：
①f（x）=2|x|，g（x）=x+1；       
②f（x）=sinx，g（x）=cosx；
③f(x)=

1-x2

，g(x)=

3

4

πx2；
④函数f（x），g（x）分别是定义在[-1，1]上的奇函数且积分值存在．
其中为区间[-1，1]上的“等积分”函数的组数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：微积分基本定理

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：利用“等积分”函数的定义，对给出四组函数求解，即可得出区间[-1，1]上的“等积分”函数的组数

解答： 解：对于①，

∫

1 -1

f(x)dx=

∫

1 -1

2|x|dx=

∫

0 -1

2(-x)dx+

∫

1 0

2xdx=2，而

∫

1 -1

g（x）dx=（

1

2

x2+x）

|

1 -1

=2，所以①是一组“等积分”函数；
对于②，

∫

1 -1

f(x)dx=

∫

1 -1

sinxdx=0，而

∫

1 -1

g(x)dx=

∫

1 -1

cosxdx=2sin1≠0，所以②不是一组“等积分”函数；对于③，由于函数f（x）的图象是以原点为圆心，1为半径的半圆，故

∫

1 -1

f(x)dx=

∫

1 -1

1-x2

dx=

π

2

，而

∫

1 -1

g（x）dx

1

4

πx3|

1 -1

=

π

2

，所以③是一组“等积分”函数；
对于④，由于函数f（x），g（x）分别是定义在[-1，1]上的奇函数且积分值存在，利用奇函数的图象关于原点对称和定积分的几何意义，可以求得函数的定积分

∫

1 -1

f(x)dx=

∫

1 -1

g(x)dx=0，所以④是一组“等积分”函数，
故选C．

点评：本题考查“等积分”函数，考查定积分的计算，有点复杂．