Question

14．已知圆A：x²+（y+1）²=1，圆B：（x-4）²+（y-3）²=1．
（1）过A的直线L截圆B所得的弦长为$\frac{6}{5}$，求该直线L的斜率；
（2）动圆P同时平分圆A与圆B的周长；
①求动圆圆心P的轨迹方程；
②问动圆P是否过定点，若经过，则求定点坐标；若不经过，则说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线为y=kx-1，由弦长可得圆心B到直线L的距离为$\frac{4}{5}$，点到直线L的距离为$\frac{{|{4k-3-1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{4}{5}$，化简即可求该直线L的斜率；
（2）动圆P同时平分圆A与圆B的周长；
①PA=PB，知P在AB的中垂线上，即可求动圆圆心P的轨迹方程；
②圆的方程化为x²+y²-6y-8-2m（x-y-1）=0，即可得出结论．

解答 解：（1）设直线为y=kx-1，由弦长可得圆心B到直线L的距离为$\frac{4}{5}$，
点到直线L的距离为$\frac{{|{4k-3-1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{4}{5}$，化简得：12k²-25k+12=0，
解得$k=\frac{4}{3}$，或$\frac{3}{4}$（4分）
（2）①作出图形可得PA=PB，知P在AB的中垂线上，求得x+y-3=0，（8分）
②
设P（m，3-m），作出图形知r²=PA²+1²=m²+（3-m+1）²+1，
圆P的方程：（x-m）²+（y+（m-3））²=m²+（3-m+1）²+1，
∴x²+y²-2mx+2（m-3）y+（m-3）²=（m-4）²+1，
∴x²+y²-2mx+2（m-3）y+2m-8=0，
∴x²+y²-6y-8-2m（x-y-1）=0
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}-6y-8=0}\\{x-y-1=0}\end{array}}\right.$，得两个定点为$（2+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，1+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}），（2-\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，1-\frac{{3\sqrt{2}}}{2}）$，（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查圆过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．