Question

4．已知命题p：“?x∈{x|-1≤x≤1}，都有x²-x-m＜0成立”，命题q：“关于x的方程|x-m|+mx²=x³有且只有一个实根”．
（1）若p真，求实数m的取值范围；
（2）若“p∨q”为真且“p∧q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）p真，参数移到一侧，利用恒成立求解另一侧的最值即可．
（2）分别求解命题成立时的参数的范围，利用复合命题的真假列出不等式求解即可．

解答 解：（1）命题p：“?x∈{x|-1≤x≤1}，都有x²-x-m＜0成立”，
可得x²-x＜m，在-1≤x≤1时恒成立，x²-x≤2，可得m＞2．
即：B={m|m＞2}；
（2）易知，x=m是方程的一个根，
当x＜m时，方程化为：（x-m）（x²+1）=0，显然无解．
所以由方程|x-m|+mx²=x³有且只有一个实数根，可得x≥m．
则：（x-1）（x+1）（x-m）=0，且x≥m，若q为真命题，可得m≥1，
①若p真q假，$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m＜1}\end{array}\right.$，m∈∅．
②若p假q真，$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{m≥1}\end{array}\right.$，可得1≤m≤2．
综上实数md的取值范围为：[1，2]．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，函数恒成立应用，考查计算能力．